data: 2023-10-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Campi e sistemi lineari - Sommario
tipologia: appunti
stato: "1"A. DEFINIZIONE DI CAMPO E DI SISTEMA LINEARE
Sommario sui campi e sui sistemi lineari.
data: 2023-10-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Campi
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di un campo; le proprietà caratterizzanti dei campi; esempi di campi e non-campi.
Questo capitolo ci serve per riflettere sui fondamenti che abbiamo usato finora, in particolare quando abbiamo parlato di equazioniequazioni, sistemi linearisistemi lineari, matricimatrici, spazi vettorialispazi vettoriali, come quando parliamo delle matrici a coefficienti reali; oppure dei
Infatti avevamo implicitamente fatto una meta-operazione in cui usavamo le proprietà di questo campo. Ora definiamo rigorosamente un campo.
Sia
K1: Commutatività rispetto alla somma e prodotto
K2: Associatività rispetto alla somma prodotto
K3: Esistenza degli elementi neutri
K4: Esistenza degli opposti (somma) e inversi (prodotto)
K5: Distributività
Allora un tale insieme si dice campo.
Gli insiemi
Osserviamo che possono esistere anche dei campi finiti, che hanno una rilevanza fondamentale nella crittografia. L'esempio 1.1.c. sarà l'esempio di un campo finito.
L'insieme delle funzioni razionali ovvero
Sia
Definiamo queste mediante delle tabelle di somma e di moltiplicazione (figura 2.1.)
Allora concludo che
FIGURA 2.1. (Esempio 2.3.)
Pertanto la precedente nozione di
data: 2024-01-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Strutture Algebriche
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Elementi di algebra: strutture algebriche; semigruppo, monoide, gruppo abeliano, anello commutativo e/o unitario, campo. (tratto da Algebra Lineare ed Elementi di Geometria, F. Bottacin)
Partiamo dalla struttura di base.
Sia
Ora andiamo ad "arricchire" la struttura algebrica.
Sia
Sia
i. Se
ii. Se vale anche che ogni elemento di
Sia
Allora se
Diamo le ultime "decorazioni" a queste strutture algebriche, fornendole di un'altra operazione che gode di altre proprietà.
Sia
Allora si definisce
Inoltre se
Sia
Se ogni elemento dell'insieme
FIGURA 4.1. (Schema riassuntivo delle strutture algebriche)
data: 2023-10-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Sistemi Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione rigorosa di sistema lineare. Nesso tra sistemi lineari, matrici e campi. Teoremi sui sistemi lineari.
Avevamo accennato che cosa sono i sistemi lineari nel capitolo sulle Equazioni e Proprietà LineariEquazioni e Proprietà Lineari; però avendo definito i CampiCampi, ora è opportuno definirli in una maniera rigorosa e formale. Inoltre rendiamo nota la seguente notazione.
Andiamo a identificare i due seguenti spazi vettoriali: la matrice colonna
Gli elementi
Gli elementi
Gli elementi
La soluzione di un sistema lineare è una
Un sistema lineare si dice omogeneo se tutti i termini noti sono nulli: ovvero se
Analogamente, un sistema lineare si dice non omogeneo se questo sistema non è omogeneo. (Lo so, informazione sorprendentemente non ovvia)
Un sistema lineare si dice compatibile se ammette almeno una soluzione
Se un sistema lineare è omogenea, allora essa dev'essere anche compatibile. Infatti la
Dato un sistema lineare, definiamo la la matrice
Dato due sistemi lineari, queste si dicono equivalenti se ammettono le medesime soluzioni; ovvero se i loro insiemi delle soluzioni sono uguali.
Più precisamente, dati due sistemi lineari
Questa nozione è molto utile per risolvere dei sistemi lineari, quindi uno degli obbiettivi principali di questo corso sarà di trovare le operazioni che trasformano dei sistemi lineari in un altro mantenendoli equivalenti.
Osserviamo che da questa definizione puntuale di sistema equivalente devono avere lo stesso numero di incognite
Tentiamo di applicare queste nozioni mediante degli esempi.
Consideriamo il seguente sistema.
Consideriamo il seguente sistema.
Qui diciamo che la soluzione non solo esiste, ma è addirittura unica in quanto per ottenere il sistema finale abbiamo trasformato il sistema iniziale tramite delle operazioni che mantengono i due sistemi equivalenti.
Consideriamo il sistema lineare
Perciò posso trovare una soluzione fissando un valore di
Possiamo riscrivere l'insieme delle soluzioni come
data: 2023-10-20
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi sui Sistemi Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi sui sistemi lineari; teorema di Cramer; teoremi di strutture per i sistemi lineari; da continuare
Presentiamo dei teoremi importanti sui Sistemi LineariSistemi Lineari.
Questo teorema è molto importante in quanto ci dà due dati importanti:
Da un lato ci dice quando un sistema lineare è compatibile, quindi c'è questa componente "esistenziale" di questo teorema; dall'altro lato ci fornisce una formula per calcolare la soluzione.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cramer (^97243eTeorema 1 (di Cramer)).
La dimostrazione si struttura in due parti:
Una parte in cui devo dimostrare che la soluzione effettivamente esiste ed equivale a
Un'altra parte in cui devo dimostrare che essa è effettivamente l'unica soluzione
Supponendo che
Ora supponiamo per assurdo che esiste un'altra soluzione
Focalizziamoci sulla parte contrassegnata con (!); notiamo che abbiamo moltiplicato da ambo le parti per
Considero un sistema lineare omogeneo di
Poi siano
Pertanto ricordandoci che il vettore (o la matrice) nullo/a è sempre soluzione di un sistema omogeneo, ottengo che l'l'insieme delle soluzioni di questo sistema è l'insieme
Notiamo che in questo teorema ci interessa il sistema lineare sé stesso, invece nel TEOREMA 1.1. (di Cramer) ci interessava solo la matrice dei coefficienti
Dati un
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cramer (^97243eTeorema 1 (di Cramer))
Dimostriamo la prima parte del teorema
Osserviamo che possiamo "combinare" questi due teoremi e verificare un fenomeno:
Sia
Infatti
Considero un sistema lineare
Il sistema lineare omogeneo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.3..
Per pianificare la struttura di questo teorema, facciamo due considerazioni sulla logica formalelogica formale, in particolare sulla doppia implicazione (ConnettiviConnettivi).
Questo teorema, da un punto di vista logico, vuole dire che
Notiamo che l'insieme
Supponendo che
Supponendo il contrario, ovvero che se il sistema fosse omogeneo, allora la tesi seguirebbe il teorema di struttura per i sistemi lineari omogenei.
Avendo sviluppato questi teoremi come dei strumenti per risolvere dei sistemi lineari, vediamo degli esempi.
Consideriamo il seguente sistema lineare a coefficienti in
Possiamo allora determinare il corrispondente di
data: 2023-10-24
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Sistemi lineari a scala
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione dei sistemi lineari a scala; elementi di pivot; compatibilità dei sistemi lineari gradinizzati.
Se in Teoremi sui Sistemi LineariTeoremi sui Sistemi Lineari avevamo sviluppati degli stratagemmi per poter determinare delle caratteristiche per alcuni sistemi, ora vogliamo di essere in grado di poter risolvere un qualsiasi sistema lineare arbitrario.
La meta-tecnica che useremo consisterà nel seguente: prima di risolvere un caso particolare, poi di dimostrare che tutti i casi generali si riconducono al caso particolare risolto.
Infatti per cominciare ci focalizziamo su un sottoinsieme particolare dei sistemi lineari: i c.d. sistemi lineari a scala
Sia
Allora chiamiamo
Inoltre sia
Definiamo gli elementi
Ora proponiamo delle matrici e li analizziamo in riferimento alla definizione appena data.
Prendiamo le matrici
Facciamo delle osservazioni sulla matrice A. Notiamo che:
Ora guardiamo la matrice B. Notiamo che anche questa è a scala, visto che:
Osserviamo che
OSS 2.D.
Neanche questa non è a scala in quanto gli elementi di pivot seguono la seguente relazione:
Se si ha una matrice del tipo
La risposta è sì; infatti fissando
Riprendendo l'osservazione posta nell'osservazione 2.5., ora ci chiediamo se vale il contrario: ovvero se fissando
Per poter dare una risposta prima dobbiamo capire quando
Vediamo un esempio.
Prendiamo la matrice B dall'esempio 2.1. e un certo
Abbiamo trovato una soluzione particolare
Osserviamo che il passo fondamentale che ci ha permesso di trovare
data: 2023-10-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Algoritmo di Gauß
tipologia: appunti
stato: "1"
"":Definizioni preliminari per la descrizione dell'algoritmo di Gauß (Matrice completa e le operazioni elementari OE). Descrizione dell'algoritmo di Gauß per rendere un sistema lineare in un sistema lineare equivalente a scala come un programma.
Consideriamo un sistema linearesistema lineare di forma
Ora definiamo una serie di operazioni elementari (OE) che sono in grado di trasformare un sistema lineare di forma
OE1. L'operazione scambia equazioni
Dati due indici
Questo corrisponde a scambiare la riga
OE2. L'operazione scala equazioni
Dato l'indice
OE3. L'operazione somma equazioni
Dati due indici
Ovvero questo corrisponde a sommare alla riga