Uni
2.1 - Sommari
Campi e sistemi lineari - Sommario

A. DEFINIZIONE DI CAMPO E DI SISTEMA LINEARE

Sommario sui campi e sui sistemi lineari.

A1. Campo

Campi

Definizione di un campo; le proprietà caratterizzanti dei campi; esempi di campi e non-campi.

0. Preambolo

Osservazione 1 (Preambolo.).

Questo capitolo ci serve per riflettere sui fondamenti che abbiamo usato finora, in particolare quando abbiamo parlato di equazioni, sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, come quando parliamo delle matrici a coefficienti reali; oppure dei -spazi vettoriali. Tutte le proprietà di cui abbiamo visto valgono in quanto è un campo con le sue operazioni .
Infatti avevamo implicitamente fatto una meta-operazione in cui usavamo le proprietà di questo campo. Ora definiamo rigorosamente un campo.

1. Definizione

Definizione 2 (campo).

Sia un insieme (Teoria degli Insiemi) si cui sono definite delle operazioni (o funzioni) (Funzioni) di somma e moltiplicazione, ovvero: tali per cui vengono soddisfatte le seguenti proprietà : Queste regole si chiamo rispettivamente nei seguenti modi:
K1: Commutatività rispetto alla somma e prodotto
K2: Associatività rispetto alla somma prodotto
K3: Esistenza degli elementi neutri dove
K4: Esistenza degli opposti (somma) e inversi (prodotto)
K5: Distributività
Allora un tale insieme si dice campo.

2. A mo' di esempi

Esempio 3 ().

Gli insiemi sono dei campi infiniti, invece non sono campi.

Osservazione 4 (campi finiti e infiniti).

Osserviamo che possono esistere anche dei campi finiti, che hanno una rilevanza fondamentale nella crittografia. L'esempio 1.1.c. sarà l'esempio di un campo finito.

Esempio 5 (l'insieme delle funzioni razionali).

L'insieme delle funzioni razionali ovvero può essere dotata di somma e prodotto in modo tale da rendere questa un campo.

Esempio 6 (un campo finito).

Sia su cui definiamo una operazione di somma e prodotto ().
Definiamo queste mediante delle tabelle di somma e di moltiplicazione (figura 2.1.)
Allora concludo che è un campo finito.

FIGURA 2.1. (Esempio 2.3.)

3. Conclusione

Osservazione 7 (Conclusione.).

Pertanto la precedente nozione di -spazio vettoriale sarà da ora in poi sostituita da quella di -spazio vettoriale, con un campo. Analogo il discorso per le matrici a coefficienti in , ovvero .

A2. STRUTTURE ALGEBRICHE (optional)

Strutture Algebriche
Strutture Algebriche

Elementi di algebra: strutture algebriche; semigruppo, monoide, gruppo abeliano, anello commutativo e/o unitario, campo. (tratto da Algebra Lineare ed Elementi di Geometria, F. Bottacin)

1. Struttura algebrica

Partiamo dalla struttura di base.

Definizione 1 (struttura algebrica).

Sia un insieme numerico, sia un'operazione interna per , ovvero del tipo
Allora la coppia si dice struttura algebrica.

2. Semigruppo, monoide, gruppo

Ora andiamo ad "arricchire" la struttura algebrica.

Definizione 2 (semigruppo).

Sia una struttura algebrica. Allora si dice semigruppo se l'operazione gode della proprietà associativa, ovvero

Definizione 3 (monoide, gruppo).

Sia una struttura algebrica.
i. Se è munito di un'elemento neutro, ovvero se
allora si dice monoide.
ii. Se vale anche che ogni elemento di è invertibile, ovvero
allora si dice gruppo.

Definizione 4 (abeliano).

Sia una struttura algebrica o un semigruppo o un monoide o un gruppo.
Allora se gode della proprietà commutativa, allora si dice abeliano.

3. Anello, campo

Diamo le ultime "decorazioni" a queste strutture algebriche, fornendole di un'altra operazione che gode di altre proprietà.

Definizione 5 (anello).

Sia § un gruppo abeliano; sia un semigruppo.
Allora si definisce § un anello
Inoltre se gode della proprietà commutativa, allora l'anello si dice commutativo/abeliano; se ha un'elemento neutro allora l'anello si dice unitario.

Definizione 6 (campo).

Sia un anello unitario, con gli elementi di neutri delle operazioni e distinti.
Se ogni elemento dell'insieme è invertibile, a parte l'elemento neutro per , allora si dice campo.

4. Schema riassuntivo

FIGURA 4.1. (Schema riassuntivo delle strutture algebriche)
Pasted image 20240126175047.png

A3. SISTEMI LINEARI

Sistemi Lineari
Sistemi Lineari

Definizione rigorosa di sistema lineare. Nesso tra sistemi lineari, matrici e campi. Teoremi sui sistemi lineari.

0. Preambolo

Avevamo accennato che cosa sono i sistemi lineari nel capitolo sulle Equazioni e Proprietà Lineari; però avendo definito i Campi, ora è opportuno definirli in una maniera rigorosa e formale. Inoltre rendiamo nota la seguente notazione.

Definizione 1 (n-upla e matrice colonna ).

Andiamo a identificare i due seguenti spazi vettoriali: la matrice colonna di tipo e la -tupla di tipo e questi due spazi vettoriali sono isomorfi (ovvero che presentano gli stessi comportamenti).

1. Definizione formale

Definizione 2 (sistema lineare di equazioni in incognite a coefficienti in ).

Sia un campo (Campi, DEF 1.); definiamo un sistema di equazioni in incognite a coefficienti in come un sistema di equazioni nella forma seguente: dove , e ; inoltre .

Definizione 3 (incognite, termini noti e coefficienti).

Gli elementi sono dette incognite.
Gli elementi sono detti termini noti.
Gli elementi sono detti coefficienti del sistema lineare.

Soluzione di un sistema

Definizione 4 (soluzione di un sistema).

La soluzione di un sistema lineare è una -upla ordinata di elementi di , che rappresentiamo come un vettore-colonna, , ovvero ove , tali per cui se ad ogni sostituiamo (dove ), allora tutte le uguaglianze del sistema lineare diventano vere.

Omogeneità di un sistema

Definizione 5 (sistema omogeneo).

Un sistema lineare si dice omogeneo se tutti i termini noti sono nulli: ovvero se .
Analogamente, un sistema lineare si dice non omogeneo se questo sistema non è omogeneo. (Lo so, informazione sorprendentemente non ovvia)

Compatibilità di un sistema

Definizione 6 (sistema compatibile).

Un sistema lineare si dice compatibile se ammette almeno una soluzione ; altrimenti si dice incompatibile*.

Osservazione 7 (sistema omogeneo implica sistema compatibile).

Se un sistema lineare è omogenea, allora essa dev'essere anche compatibile. Infatti la -upla nulla è sempre soluzione di un sistema omogeneo.

Forma compatta di un sistema

Definizione 8 (forma compatta di un sistema lineare).

Dato un sistema lineare, definiamo la la matrice dei coefficienti e la -upla delle incognite, la -upla dei termini noti, ovvero dove allora posso scrivere il sistema lineare in forma compatta come

Equivalenza di due sistemi

Definizione 9 (sistemi lineari equivalenti).

Dato due sistemi lineari, queste si dicono equivalenti se ammettono le medesime soluzioni; ovvero se i loro insiemi delle soluzioni sono uguali.
Più precisamente, dati due sistemi lineari ove e ; invece e , si dicono equivalenti quando hanno le medesime soluzioni.

Osservazione 10 (l'utilità di questa nozione).

Questa nozione è molto utile per risolvere dei sistemi lineari, quindi uno degli obbiettivi principali di questo corso sarà di trovare le operazioni che trasformano dei sistemi lineari in un altro mantenendoli equivalenti.

Osservazione 11 (i sistemi equivalenti possono avere equazioni diversi).

Osserviamo che da questa definizione puntuale di sistema equivalente devono avere lo stesso numero di incognite ma possono avere numeri diversi di equazioni .

2. Esempi

Tentiamo di applicare queste nozioni mediante degli esempi.

Esempio 12 (Esempio 2.1.).

Consideriamo il seguente sistema. che in forma compatta si scrive

  1. Questo è un sistema non omogeneo, in quanto almeno uno termine noto è non-nullo.
  2. Si può immediatamente stabilire che questo sistema è incompatibile; infatti se si suppone che esiste una soluzione allora varrebbe che , il che è un assurdo.
Esempio 13 (Esempio 2.2.).

Consideriamo il seguente sistema.

  1. Chiaramente questo sistema è non-omogeneo
  2. Qui non è possibile stabilire a priori se questo sistema sia compatibile o meno. Allora mediante delle trasformazioni tentiamo di trovare una soluzione.
    Quindi allora quindi il sistema ha un'unica soluzione Perciò abbiamo stabilito che il sistema è anche compatibile.
Osservazione 14 (l'unicità della soluzione).

Qui diciamo che la soluzione non solo esiste, ma è addirittura unica in quanto per ottenere il sistema finale abbiamo trasformato il sistema iniziale tramite delle operazioni che mantengono i due sistemi equivalenti.

Esempio 15 (Esempio 2.3.).

Consideriamo il sistema lineare e tentiamo di trovare una soluzione. Iniziamo dunque effettuando delle manipolazioni; vediamo che la seconda equazione è sempre vera; allora ciò significa che anche l'equazione è sempre vera.
Perciò posso trovare una soluzione fissando un valore di preciso per poter determinare ; quindi generalizzando fisso ed esprimo le soluzioni così: Ovvero le soluzioni sono della forma da cui discende che abbiamo infinite soluzioni.

Osservazione 16 (interpretazione geometrica dei sistemi lineari).

Possiamo riscrivere l'insieme delle soluzioni come che geometricamente corrisponde ai punti di una retta passante per e .

B. CONSEGUENZE TEORICHE

B1. Teoremi sui sistemi lineari

Teoremi sui Sistemi Lineari
Teoremi sui Sistemi Lineari

Teoremi sui sistemi lineari; teorema di Cramer; teoremi di strutture per i sistemi lineari; da continuare

1. Teoremi sui sistemi lineari

Presentiamo dei teoremi importanti sui Sistemi Lineari.

Teorema di Cramer

Teorema 1 (di Cramer).

Considero un sistema lineare con equazioni ed incognite, di forma Ovvero .
Ora supponiamo che sia anche invertibile (Matrice, DEF 2.6.); allora da qui discende che esiste un'unica soluzione del sistema lineare ed essa è data da

Osservazione 2 (l'importanza del teorema di Cramer).

Questo teorema è molto importante in quanto ci dà due dati importanti:
Da un lato ci dice quando un sistema lineare è compatibile, quindi c'è questa componente "esistenziale" di questo teorema; dall'altro lato ci fornisce una formula per calcolare la soluzione.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cramer (Teorema 1 (di Cramer)).
La dimostrazione si struttura in due parti:

  1. Una parte in cui devo dimostrare che la soluzione effettivamente esiste ed equivale a

  2. Un'altra parte in cui devo dimostrare che essa è effettivamente l'unica soluzione

  3. Supponendo che sia soluzione, allora per tale definizione devo essere in grado di sostituirla ad per poter ottenere un'uguaglianza vera; quindi faccio 𝟙e l'ultima uguaglianza è vera.

  4. Ora supponiamo per assurdo che esiste un'altra soluzione sia un'altra soluzione; allora per definizione questa verifica che è esattamente uguale alla soluzione proposta dal teorema di Cramer; quindi esiste solo la soluzione .

Osservazione 3 (attenzione su ).

Focalizziamoci sulla parte contrassegnata con (!); notiamo che abbiamo moltiplicato da ambo le parti per a SINISTRA, e non a DESTRA; infatti nel contesto delle matrici la moltiplicazione a sinistra può comportarsi diversamente da quella a destra; infatti se avessimo moltiplicato a destra, tutta l'espressione avrebbe perso senso in quanto avremmo ottenuto in quanto moltiplichiamo una matrice per , che non è definita.

Teorema di struttura per i sistemi lineari omogenei

Teorema 4 (di strutture per le soluzione dei sistemi lineari omogenei).

Considero un sistema lineare omogeneo di equazioni in incognite. Ovvero dove e , è la matrice nulla (Definizione 8 (matrice nulla)).
Poi siano due soluzioni distinte e sia , allora:

  1. è soluzione
  2. è soluzione

Pertanto ricordandoci che il vettore (o la matrice) nullo/a è sempre soluzione di un sistema omogeneo, ottengo che l'l'insieme delle soluzioni di questo sistema è l'insieme allora si verifica che è un sottospazio vettoriale (Definizione 1 (sottospazio vettoriale)) di .

Osservazione 5 (Osservazione 1.3.).

Notiamo che in questo teorema ci interessa il sistema lineare sé stesso, invece nel TEOREMA 1.1. (di Cramer) ci interessava solo la matrice dei coefficienti

Osservazione 6 (osservazione preliminare).

Dati un e un e un allora abbiamo

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cramer (Teorema 1 (di Cramer))
Dimostriamo la prima parte del teorema

  1. Dato che e sono soluzioni, allora devono valere che: E supponendo che sia soluzione, deve valere anche che: e sviluppandolo, otterremo
    che è vera.
    Prima di dimostrare la seconda parte del teorema occorre tenere in conto l'osservazione 1.4.
    Ora siamo pronti per concludere la dimostrazione.
  2. Se è soluzione, allora è vera che allora supponendo che sia soluzione abbiamo e sviluppandola otterremo il che è vera.

Osservazione sui teoremi precedenti

Osservazione 7 (possiamo combinare i due teoremi appena visti).

Osserviamo che possiamo "combinare" questi due teoremi e verificare un fenomeno:
Sia e supponiamo che questa matrice sia anche invertibile; ora consideriamo il sistema lineare omogeneo Allora da qui discende che è l'unica soluzione di questo sistema.
Infatti e sono anche soluzioni in quanto sono uguali all'unica soluzione .

Teorema di struttura per i sistemi lineari arbitrari

Teorema 8 (di struttura per i sistemi lineari arbitrari).

Considero un sistema lineare con e . Sia una soluzione; allora un elemento è soluzione di questo sistema lineare se e solo se possiamo scrivere dove è una soluzione del sistema lineare omogeneo In altre parole l'insieme delle soluzione di è

Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato).

Il sistema lineare omogeneo si dice il sistema lineare omogeneo associato al sistema .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.3..
Per pianificare la struttura di questo teorema, facciamo due considerazioni sulla logica formale, in particolare sulla doppia implicazione (Connettivi).
Questo teorema, da un punto di vista logico, vuole dire che èallora vogliamo dimostrare che entrambe le implicazioni sono vere; ovvero nel senso che valgono èè

  1. Dimostriamo la prima.
    Supponiamo che sia una soluzione del sistema lineare , quindi dobbiamo mostrare che esiste un di tale che possiamo scrivere Allora definiamo per costruzione, ovvero ; perciò vale sicuramente che . Allora ci resta da verificare che è effettivamente la soluzione del sistema omogeneo associato. Quindi
  2. Ora dimostriamo il viceversa.
    Supponiamo dunque che esista un tale da essere soluzione del sistema omogeneo associato. Sia dunque . Allora voglio mostrare che sia una soluzione del sistema; allora Abbiamo finalmente concluso la dimostrazione.
Osservazione 10 (l'insieme delle soluzioni costituisce un sottospazio vettoriale).

Notiamo che l'insieme delle soluzioni di un sistema forma un sottospazio vettoriale (Sottospazi Vettoriali) di se e solo se . Infatti:
Supponendo che sia uno sottospazio vettoriale, allora abbiamo che le proprietà caratterizzanti di uno sottospazio vengano rispettate; ad esempio il vettore nullo è soluzione. Infatti se , allora sicuramente anche è soluzione.

Supponendo il contrario, ovvero che se il sistema fosse omogeneo, allora la tesi seguirebbe il teorema di struttura per i sistemi lineari omogenei.

2. Esempio

Avendo sviluppato questi teoremi come dei strumenti per risolvere dei sistemi lineari, vediamo degli esempi.

Esempio 11 (Esempio 2.1.).

Consideriamo il seguente sistema lineare a coefficienti in . ovvero in forma compatta e possiamo, ad esempio, considerare una soluzione semplice del tipo Ora per calcolare tutte le soluzioni usiamo il teorema di struttura per i sistemi lineari arbitrari (TEOREMA 1.4.); determiniamo dunque tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato, ovvero Vediamo che il sistema è equivalente a Quindi possiamo ad assegnare un qualsiasi valore appartenente al campo a e a . (in altre parole poniamo )

Possiamo allora determinare il corrispondente di come Ora possiamo determinare la "ricetta" per ottenere le soluzioni di questo sistema omogeneo, ovvero Notiamo che possiamo riscrivere questa -upla come Concludendo, le soluzioni di sono gli elementi dell'insieme definito come

B2. Sistemi lineari a scala

Sistemi lineari a scala
Sistemi lineari a scala

Definizione dei sistemi lineari a scala; elementi di pivot; compatibilità dei sistemi lineari gradinizzati.

0. Preambolo

Osservazione 1 (Preambolo.).

Se in Teoremi sui Sistemi Lineari avevamo sviluppati degli stratagemmi per poter determinare delle caratteristiche per alcuni sistemi, ora vogliamo di essere in grado di poter risolvere un qualsiasi sistema lineare arbitrario.
La meta-tecnica che useremo consisterà nel seguente: prima di risolvere un caso particolare, poi di dimostrare che tutti i casi generali si riconducono al caso particolare risolto.
Infatti per cominciare ci focalizziamo su un sottoinsieme particolare dei sistemi lineari: i c.d. sistemi lineari a scala

1. Definizione di sistema a scala

Definizione 2 (matrice a scala).

Sia e sia il numero delle righe non nulle di .
Allora chiamiamo una matrice a scala se sussistono le seguenti.

  1. , ovvero .

  2. e vale che ; in parole questo vuol dire che le eventuali righe nulle di devono "stare in basso" (ovvero dopo e non prima di ).

    Inoltre sia l'indice della prima colonna non-nulla e sia ovvero l'indice del primo elemento non-nullo di una riga , allora deve pure valere che e tutti questi valori devono essere maggiori di ; ovvero

Definizione 3 (elementi pivot di una matrice a scala).

Definiamo gli elementi come gli elementi di pivot.

2. Esempi di sistema a scala

Ora proponiamo delle matrici e li analizziamo in riferimento alla definizione appena data.

Esempio 4 (Esempio 2.1.).

Prendiamo le matrici

Osservazione 5 (Matrice ).

Facciamo delle osservazioni sulla matrice A. Notiamo che:

  1. Non è nulla, quindi bisogna vedere l'altra condizione
  2. Non ci sono righe nulle; quindi è il numero di righe effettive di ; in altre parole .
  3. Abbiamo i seguenti elementi di pivot: , , . Allora abbiamo la seguente relazione: quindi questa matrice è a scala, secondo la definizione appena data.
Osservazione 6 (Matrice ).

Ora guardiamo la matrice B. Notiamo che anche questa è a scala, visto che:
e non esiste in quanto la terza riga è nulla. Infatti .

Osservazione 7 (Matrice ).

Osserviamo che non è a scala in quanto abbiamo (in parole abbiamo 2 righe non nulle), però (ovvero la seconda riga sta nel mezzo della matrice, non in basso).

Osservazione 8 (Matrice ).

OSS 2.D.
Neanche questa non è a scala in quanto gli elementi di pivot seguono la seguente relazione: dove dev'essere minore di , non uguale.

Osservazione 9 (determinare sistemi non compatibili).

Se si ha una matrice del tipo (ovvero una in cui abbiamo almeno una riga nulla), ci si chiede se è possibile fissare una n-upla dei coefficienti tale da rendere incompatibile. (Definizione 6 (sistema compatibile)).
La risposta è sì; infatti fissando , essendo l'indice di una qualsiasi riga nulla, un numero che sia diverso da , allora abbiamo un sistema incompatibile. Infatti si avrebbe l'equazione che non è risolvibile.

3. Compatibilità di sistemi a scala

Osservazione 10 (compatibilità dei sistemi).

Riprendendo l'osservazione posta nell'osservazione 2.5., ora ci chiediamo se vale il contrario: ovvero se fissando il numero , allora abbiamo un sistema lineare compatibile.
Per poter dare una risposta prima dobbiamo capire quando ha soluzione; sicuramente se ha soluzione e le righe sono nulle, allora anche i valori sono nulli. Vale il viceversa?
Vediamo un esempio.

Esempio 11 (Esempio 3.1.).

Prendiamo la matrice B dall'esempio 2.1. e un certo . Ovvero allora abbiamo il sistema lineare Ora cerchiamo di risolverla. Questo sistema equivale a: Ora fissiamo ; abbiamo dunque Dunque se , abbiamo e fissando , abbiamo .
Abbiamo trovato una soluzione particolare

Osservazione 12 (il passo fondamentale).

Osserviamo che il passo fondamentale che ci ha permesso di trovare è quello di esplicitare gli elementi di pivot. Infatti abbiamo ottenuto (che sono gli elementi di pivot) determinando un valore arbitrario per .

B3. Algoritmo di Gauß

Algoritmo di Gauß
Algoritmo di Gauß

Definizioni preliminari per la descrizione dell'algoritmo di Gauß (Matrice completa e le operazioni elementari OE). Descrizione dell'algoritmo di Gauß per rendere un sistema lineare in un sistema lineare equivalente a scala come un programma.

1. Matrice completa di un sistema lineare

Definizione 1 (matrice completa di un sistema lineare).

Consideriamo un sistema lineare di forma allora definiamo la matrice ottenuta aggiungendo alla matrice la colonna data dai termini noti come la matrice completa di questo sistema lineare. La denotiamo con N. B. Il segno sbarra per "differenziare" i termini noti dai coefficienti ha uno scopo puramente grafico.

2. Operazioni elementari OE

Ora definiamo una serie di operazioni elementari (OE) che sono in grado di trasformare un sistema lineare di forma in un altro equivalente (Definizione 9 (sistemi lineari equivalenti)).

Definizione 2 (le operazioni elementari).

OE1. L'operazione scambia equazioni
Dati due indici scambiamo di posto l'equazione -esima e -esima.
Questo corrisponde a scambiare la riga -esima con la riga -esima della matrice .

OE2. L'operazione scala equazioni
Dato l'indice e uno scalare , moltiplichiamo l'-esima equazione per . Precisamente questo corrisponde a moltiplicare per l'-esima riga della matrice completa .

OE3. L'operazione somma equazioni
Dati due indici e uno scalare non nullo , sommiamo alla -esima equazione alla -esima equazione la -esima equazione dopo averla moltiplicata per .
Ovvero questo corrisponde a sommare alla riga -esima della matrice completa volte la -esima riga.

Table Of Contents
A. DEFINIZIONE DI CAMPO E DI SISTEMA LINEARE
A1. Campo
0. Preambolo
1. Definizione
2. A mo' di esempi
3. Conclusione
A2. STRUTTURE ALGEBRICHE (optional)
1. Struttura algebrica
2. Semigruppo, monoide, gruppo
3. Anello, campo
4. Schema riassuntivo
A3. SISTEMI LINEARI
0. Preambolo
1. Definizione formale
Soluzione di un sistema
Omogeneità di un sistema
Compatibilità di un sistema
Forma compatta di un sistema
Equivalenza di due sistemi
2. Esempi
B. CONSEGUENZE TEORICHE
B1. Teoremi sui sistemi lineari
1. Teoremi sui sistemi lineari
Teorema di Cramer
Teorema di struttura per i sistemi lineari omogenei
Osservazione sui teoremi precedenti
Teorema di struttura per i sistemi lineari arbitrari
2. Esempio
B2. Sistemi lineari a scala
0. Preambolo
1. Definizione di sistema a scala
2. Esempi di sistema a scala
3. Compatibilità di sistemi a scala
B3. Algoritmo di Gauß
1. Matrice completa di un sistema lineare
2. Operazioni elementari OE